Arêtier
Calcul des angles de corroyage

1. Description

L'arêtier est la pièce de bois formant l'arête entre deux pans jointifs du toit. Un arêtier est représenté en rouge sur le dessin de gauche.
Pour un raccordement parfait des deux pans du toit, on est ammené à bisauter cet arêtier. Les angles de taille pour effectuer ces bisaux s'appellent : "angles de corroyage", notés δ1 et δ2 sur le dessin de droite.

2. Calcul des angles de corroyage

2.1. Calcul automatisé

J'ai mis à disposition ce petit calculateur automatique ci-dessous, permettant d'obtenir les angles de corroyage. Cependant, en continuant la lecture, vous trouverez aussi la technique que j'ai utilisé pour obtenir ces résultats.

Saisir la longueur, la largeur et la hauteur du toit, puis cliquez sur "Calcul".

Longueur du toit en mètre(s) : Largeur du toit en mètre(s) :

Hauteur du toit en mètre(s) :

Pente de l'arêtier β en (°) : Pivotement de l'arêtier α en (°) :

Angle δ1 :

2.2. Démonstration des calculs

Voici un toit à 4 pans vu de dessus :
Merci au passage à Pythagore pour le calcul de BC :

Nous pouvons maintenant calculer la longueur de l'arête du toit (attention ça ne sera pas la longueur de la pièce de bois qui devra être majorée du fait des découpes.)
On recommence donc avec Pythagore, avec CH qui représente la hauteur.

Nous pouvons maintenant calculer la pente de l'arête :

Ainsi que l'angle que fait la projection au sol de l'arête, avec le côté le plus grand de ce toit :

Remarquons que c'est aussi ArcTan(Largeur/Longueur).

Observons maintenant le schéma suivant qui nous aidera à comprendre comment obtenir les angles de corroyage :

Cherchons les coordonnées (x, y) du point M, sachant que M appartient à la droite passant par C et B, et que M est au plus près de A. On peut alors prouver que :
X = (AB x AC²) / (AB² + AC²) et Y = (AB² x AC) / (AB² + AC²)
Ce choix permet d'obtenir un plan MNA perpendiculaire au plan CHB et donc de simplifier les calculs ultérieurs.

Calculons maintenant la hauteur MN (on rappelle que CH désigne la hauteur de la charpente). Nous utilisons ici le théorème de Thalès.
MN / CH = MB / CB soit encore : MN = (CH x MB) / CB
En exprimant les valeurs MB et CB uniquement avec les valeurs AB et AC, on montre aussi que :
MN = (CH x AB²) / (AB² + AC²)

Basculons le plan MNA de l'angle β afin d'obtenir le nouveau plan MPA. Pourquoi ?
On peut remarquer que maintenant le plan MPA est perpendiculaire à l'axe de l'arêtier. Par conséquent l'angle PÂM correspond à l'angle de corroyage.

Terminons maintenant les calculs :
En utilisant le théorème de Thalès, on peut montrer que :
NP = MN x CH / BH
Puis en utilisant Pythagore, et en remarquant que l'angle droit se trouve en P :
MP = √(MN² - NP²)
Toujours avec Pythagore :
AM = √(X² + Y²)
On termine le calcul en cherchant l'angle PÂM à l'aide de la fonction arctangente :
PÂM = δ1 = ArcTan(MP / AM)

Il pourrait être intéressant de tracer sur la longueur de l'arêtier la limite ou s'arrête le bisaux. Appelons cette limite le retrait. Il se calcule alors de la façon suivante :
retrait = (largeur de l'arêtier / 2) x tan(δ1)

Exemple : Pour un toit construit sur une base carré de 6,5 m de côté, et d'une hauteur de faîtage avant recouvrement de 2 m :
La pente de l'arêtier est β = 23,5°
L'angle de pivotement de l'arêtier est α = 45° (On pouvait s'y attendre avec un toit carré !).
L'angle de corroyage est δ1 = 21.8° et correspond à un retrait de 1,6 cm pour une largeur de 8 cm de l'arêtier.

2.3. Que devient δ2 dans tout ça ?

Pour un toit carré, pas de problème : δ2 = δ1
Pour un toit rectangulaire pas de panique ! en inversant les valeurs longueur et largeur du toit dans le calculateur, celui-ci affichera tout simplement la valeur de δ2.

Exemple : Pour un toit rectangulaire de 6 m de longueur, de 4 m de largeur et d'une hauteur de faîtage avant recouvrement de 1 m :
La pente de l'arêtier est β = 15,5°
L'angle de pivotement de l'arêtier est α = 33.7°.
Les angle de corroyage sont δ1 = 21.8° et δ2 = 10.1°
Les retraits respectifs sont de 1,6 cm et 0,7 cm.

2.4. Longueur de l'arêtier

Pour l'assemblage des arêtiers au sommet du toit, les coupes obliques sont entrantes, donc pas de problèmes. Par contre dans sa partie basse, l'arêtier aura forcément des coupes obliques sortante pour permettre à la planche de rive de se positionner dans un plan vertical. Sur sa longueur le bois travaille beaucoup et j'ai observé que les charpentiers ne sciaient les extrémités basses qu'une fois toute la charpente posée, pour réaliser un alignement parfait. Il est utile quand même d'avoir une idée de la longueur du bois ne serait ce que pour réaliser les achats.
On supposera pour le moment que la maison vue de dessus est carrée. Posons "d" la longueur de dépassement du toit par rapport au mur, et ha la hauteur de l'arêtier dans sa section.
FE = d / cos(α)
La longueur de l'arêtier dans sa partie supérieure sortant de la maçonnerie est donc :
BE = FE/ cos(β)
Il faut majorer cette longueur en partie basse du fait de la coupe oblique, de la valeur :
maj = tan(β) x ha
On a maintenant tout ce qui dépasse du mur, il ne reste donc qu'a ajouter le reste, c'est à dire BH (voir fig précédente).

Dépassement du mur (cm) : Alpha (°) :

BH (m) : Pente de l'arêtier β en (°) :

hauteur section (cm) :

Longueur de l'arêtier (m) :