Mécanique

3. Poutre sur 2 appuis avec charge répartie

On posera q la charge par mètre de longueur, supportée par la poutre.
Par exemple Si la poutre fait 4 mètres et que la charge totale supportée par celle-ci est de 1000 N, alors q = 1000 / 4 = 250 Nm^-1.
A cause de la symétrie de la charge, chaque appui supporte la moitié de la charge soit

Nous traçons l'effort tranchant. Pour celà remarquons qu'en isolant la poutre à gauche du point A, incluant ce point, l'effort tranchant V = -R_A.
A mi-chemin la valeur de la charge à gauche de ce point est F = q × L/2
On a donc V = -R_A + F = -q × L/2 + q × L/2 = 0
En prenant cette fois toute la poutre et en excluant le point B, on trouve V = q × L/2
En prenant d'autres points entre A et B on peut montrer facilement que nous obtenons une droite d'équation :  

Le moment de flexion est défini par l'équation :
En intégrant V(x) on obtient alors :  
Au point A origine de notre repère M_f(0) = 0.
Par conséquent la constante est nulle et l'équation se simplifie en devenant :

Nous allons maintenant rechercher l'équation de la flèche de cette poutre en utilisant la relation :
  où E désigne le module de Young (module d'élasticité), I le moment quadratique de la poutre, et y(x) la flèche en chaque point de cette poutre.
Intégrons successivement y'', puis y', pour obtenir y. On trouve alors :

A et B désignent ici deux constantes que nous allons déterminer.
Au point A la flèche est nulle : y(0) = 0   donc B = 0
A cause de la symetrie du problème, la flèche sera maxi au centre de la poutre. On a donc : y'(L/2) = 0 car la dérivée s'annule en ce point. D'où :

L'équation de la dérivée de la flèche s'écrit donc :

Il vient également l'équation de la flèche, après remplacement de A et B par leur valeur respective :

La valeur maxi atteinte par la flèche se situe pour x = L/2. On a donc :

ce qui donne après simplification :

Le signe moins indique une flexion vers le bas ce qui est intuitif.

Exemple :