Mécanique

4. Poutre sur 2 appuis avec une charge ponctuelle décentrée

La longueur de la poutre entre les 2 appuis sera donc L = a + b.
Pour trouver R_A et R_B, nous écrivons les équations des moments au point A, puis au point B, ce qui donne respectivement :
R_BL - F×a = 0   et   -R_AL + F×b = 0
Il vient alors :

Nous traçons l'effort tranchant en remarquant simplement que
pour 0 < x < a   V = -R_A = C^te   et,
pour a < x < L   V = R_B = C^te

Le moment fléchissant s'obtient de la relation :
pour 0 ≤ x ≤ a  
pour a ≤ x ≤ L  
Il est maximum pour x=a et a pour valeur M_fmax = F × a × b / L

Nous allons maintenant rechercher l'équation de la flèche de cette poutre en utilisant la relation :
  où E désigne le module de Young (module d'élasticité), I le moment quadratique de la poutre, et y(x) la flèche en chaque point de cette poutre.
Intégrons successivement y'', puis y', pour obtenir y. On trouve alors :

C₁, C₂, C₃, et C₄, désignent des constantes d'intégration qu'il va nous falloir maintenant déterminer.
Remarquons que la flèche est nulle pour x=0 puisque la poutre est en appui sur le point A.
En conséquence y₁(0) = 0 implique que C₂ = 0
La poutre ne présentant aucune cassure, on a nécessairement y'₁(a) = y'₂(a). Par conséquent :

Eliminons b de cette équation en utilisant : b = L - a
On a alors :
Remplaçons cette nouvelle expression dans l'équation de C₁.
Après simplification nous obtenons finalement :
D'autre part, remarquons que la flèche est nulle pour x=L puisque la poutre est en appuie sur le point B.
En conséquence y₂(L) = 0 implique que :

La continuité de la poutre implique également que y₁(a) = y₂(a)
Par conséquent si nous réécrivons cette égalité en utilisant les seconds membres et en substituant les valeurs de C₁ et de C₄ par les expressions contenant C₃, nous avons :

En éliminons b comme nous l'avons fait précédemment, et après simplification des termes, nous obtenons C₃ :

Les autres constantes s'obtiennent alors facilement :
et
Réécrivons maintenant les équations de la flèche de cette poutre. Pour la première :

Cette forme manque un peu d'élégance, nous allons donc chercher à simplifier cette écriture en remarquant que :

La première équation de la flèche s'écrit finalement :

La deuxième équation s'écrit :

Pour faire disparaitre x³, remarquons que :
Il vient alors :

et finalement :

Découvrons un exemple de ce que donne graphiquement ces deux équations (avec L = 4000mm, a = 3000mm)

Cherchons la valeur atteinte par la flèche à sont point le plus bas (f_max). C'est dans la fonction y₁ que ce maximum est atteint. Nous allons donc dériver cette fonction en remarquant qu'elle est de la forme y₁ = Ax(x² + B).
Rappelons nous que si u et v sont deux fonctions de la variable x, la dérivée du produit u.v s'écrit : (u.v)' = u'.v + u.v'

Finalement la dérivée s'écrit :

Elle s'annule pour   3x² + b² - L² = 0,   cet à dire en ne gardant que la valeur positive de x :

Pour cette valeur de x_fmax le fléchissement de la poutre est maximum. Calculons cette valeur :

et finalement après simplification, la relation donnant le fléchissement maximum de la poutre est :

La poutre à l'origine du repère fait un angle θ_A avec l'horizontale. Cet angle est petit, et on peut donc faire l'approximation tan(θ_A) = θ_A. Par conséquent :

L'angle que fait la poutre au point x = 0, par rapport à l'horizontale s'écrit finalement :

De même avec l'autre extrémité de la poutre (attention on change de fonction et on prend cette fois y'₂), nous pouvons calculer l'angle θ_B :

et finalement en remarquant que L - a = b, l'angle θ_B s'écrit :

Nous terminons cette partie avec une vue d'ensemble.