Mathématiques

1. Introduction

Une E.D. (équation différentielle) est une équation qui contient à la fois une fonction et sa dérivée.
Exemple : f(x) - 2f '(x) = 0 qu'on écrit plus souvent pour simplifier : y - 2y' = 0
Il ne faut pas perdre de vue que y = f(x) est une fonction, et que x est la variable.
On parlera d'équation différentielle d'ordre un lorsque l'équation contiendra des dérivées premières, et d'équation différentielle d'ordre deux lorsqu'on sera en présence de dérivées secondes.
Pour résoudre une équation différentielle on applique une méthode propre à chaque type d'équation. Il faut donc connaitre ces méthodes.

2. Equations différentielles d'ordre 1

2.1. Equations du type : y' = ay

Divisons chaque membre par y, il vient alors :
Intégrons chaque membre de l'équation. Nous obtenons : ln y = ax + Cte
Appliquons ensuite une fonction exponentielle ce qui nous donne : e^{ln y} = e^{ax + Cte}
Remarquons que le premier membre se simplifie car e^{ln y} = y.
Sur le second membre, nous appliquons la relation e^{u + v} = e^u·e^v qui devient e^Cte·e^ax
e^Cte est une constante. Nous posons C = e^Cte pour simplifier l'écriture.

Finalement les solutions de cette équation sont de la forme : y = C·e^ax   où C représente une constante.
Résumons :

E.D. du type : y' = ay
Solutions : y = C·e^ax

2.1.1. Application à la chimie

Une solution contient un réactif A dont la concentration initiale est [A]₀. Ce réactif est consommé peu à peu lors de la réaction, et on note [A]_t la concentration de la solution à l'instant t.
Comme la fonction [A]_t est décroissante, nous pouvons écrire que la vitesse de réaction s'écrit :
Nous remarquons également dans cette expérience que la vitesse de réaction est proportionnelle à la concentration du réactif. En posant k le coefficient de proportionnalité, nous pouvons donc écrique que : v(t) = k · [A]_t

De ces deux équations, nous tirons donc que : qui est de la forme y' = ay   avec a = -k
Les solutions de ce type d'équation différentielle sont de la forme : [A]_t = C·e^-kt
Nous déterminons la constante C en posant t = 0, d'où : [A]₀ = C·e^-k0 = C
Finalement la concentration du réactif en fonction du temps s'écrit : [A]_t = [A]₀·e^-kt

Exemple : Une solution contient un élément chimique de concentration initiale [A]₀
On donne k = 0,012 s^-1. Déterminez le temps nécessaire à la consommation de 99% de cet élément.

Solution :
En utilisant ce qui vient d'être écrit, on a : [A]_t = [A]₀·e^-0,012t
On cherche t pour une concentration restante de 1%, c'est à dire pour [A]_t = [A]₀ / 100
D'où : 1/100 = e^-0,012t , et en prenant le logarithme naturel de chaque membre : -0,012t = ln(0.01)
On trouve alors t = 384 secondes = 6 min 24 s

2.2. Equations du type : y' = ay + b

Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme : y = C·e^ax - b/a
On reconnait les solutions générales de l'équation précédente auxquelles s'ajoute la solution particulière -b/a

E.D. du type : y' = ay + b
Solutions : y = C·e^ax - b/a

3. Equations différentielles d'ordre 2

3.1. Equations du type : ay" + by' + cy = 0

Les solutions de ce type d'équations différentielles demandent de résoudre au préalable l'équation du second degrés : ar² + br + c = 0 dont les coefficients (a, b, et c) sont identiques à ceux de l'équation différentielle.
On recherche le déterminant Δ = b² - 4ac
1) Si Δ > 0
    Il existe alors deux solutions :   et  
    Dans ce cas les solutions de l'équation différentielles s'écrivent : y = C₁e^λ1^x + C₂e^λ2^x
2) Si Δ = 0
    Il existe alors une solution double : λ = -b/(2a)
    Dans ce cas les solutions de l'équation différentielles s'écrivent : y = (C₁x + C₂)e^λx
3) Si Δ < 0
    Il existe alors deux solutions complexes conjuguées :   et  
    La partie Réelle s'écrit :   et la partie imaginaire :
    Dans ce cas les solutions de l'équation différentielles s'écrivent : y = e^ux(C₁·cos(|v|·x) + C₂·sin(|v|·x))